Преобразования Галилея. Рассмотрим две системы отсчета движущиеся друг относительно друга и с постоянной скоростью v₀.Одну из этих систем обозначим буквой K. Будем считать неподвижной. Тогда вторая система K¢ будет двигаться прямолинейно и равномерно. Выберем координатные оси x,y,z системы K и x',y',z' системы K' так что оси x и x' совпадали, а оси y и y' , z и z', были параллельны друг другу. Найдем связь между координатами x,y,z некоторой точки P в системе K и координатами x',y',z' той же точки в системе K'. Если начать отсчёт времени с того момента, когда начало координат системы, совпадали, то x=x'+v₀, кроме того, очевидно, что y=y', z=z'. Добавим к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течёт одинаковым образом, то есть t=t'. Получим совокупность четырёх уравнений : x=x'+v₀t;y=y';z=z';t=t', названных преобразованиями Галилея. Механический принцип относительности. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчёта протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится ли система или движется равномерно и прямолинейно носит названия принцип относительности Галилея. Нарушение классического закона сложения скоростей. Исходя из общего принципа относительности (никаким физическим опытом нельзя отличить одну инерциальною систему от другой), сформулированным Альбертом Эйнштейном, Лоуренс изменил преобразования Галилиея и получил : x'=(x-vt)/Ö (1-v²/c²); y'=y; z'=z; t'=(t-vx/c²)/Ö (1-v²/c²). Эти преобразования называются преобразованиями Лоуренса.

 

Постулаты специальной теории относительности.

    
     Преобразования Лоренца   Специальная теория относительности представляет собой современную физическую теорию пространства  и времени. В СТО, как и в классической механике, предполагается, что время однородно (инвариантность физических законов относительно выбора начала отсчета времени), а пространство однородно и изотропно (симметрично). Специальная теория относительности называется также релятивистской теорией, а явления, описываемые этой теорией – релятивистскими эффектами.
     В основу СТО легло положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, а скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения.
     Это положение формулируется в виде двух постулатов А. Эйнштейна: принципа относительности и принципа постоянства скорости света.
     Первый постулат является обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы и утверждает, что законы физики имеют одинаковую форму (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета: любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе, находящейся в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояние покоя или движения определяется здесь относительно произвольно выбранной инерциальной системы отсчета; физически эти состояния равноправны.
     Второй постулат утверждает: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
    

     Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на базе сформулированных им постулатов, показал, что преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам СТО.
     Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами x, y, z) и К΄ (с координатами x΄, y΄, z΄), движущуюся относительно К вдоль оси х со скоростью =const. Пусть в начальный момент времени (t = t΄ = 0), когда начала систем координат совпадают (0 = 0΄), излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А, пройдя расстояние
    

    (5.6)

       то в системе К΄ координата светового импульса в момент достижения точки А будет равна
    

     (5.7)

       где t΄ - время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в системе К΄. Вычитая (5.6) из (5.7), получим:  
    

       Так как  (система К΄ перемещается относительно К), то получается, что , т.е. отсчет времени в системах К΄ и К различен или имеет относительный характер (в классической механике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково, т.е. t = t΄).
     А. Эйнштейн показал, что в СТО классические преобразования Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой заменяются преобразованиями Лоренца (1904 г.), удовлетворяющими первому и второму постулатам (табл. 5.1).      
     Таблица 5.1
    

Прямые преобразования Галилея

Прямые преобразования Лоренца

Обратные преобразования Галилиея

Обратные преобразования Лоренца

Из преобразований Лоренца вытекает, что при малых скоростях (по сравнению со скоростью света) они переходят в преобразования Галилея. При v>c выражения для x, t, x΄ и t΄ теряют физический смысл, т.е. движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Кроме того, из табл. 5.1 следует, что как пространственные, так и временные преобразования Лоренца не являются независимыми: в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени - пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, релятивистская теория Эйнштейна оперирует не трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.
    
    

3. Следствия из преобразований Лоренца  

    
     1. Относительность одновременности. Пусть в системе К в точках с координатами х1 и х2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе К΄ им соответствуют координаты и  и моменты времени  и . Если события в системе К происходят в одной точке (х1=х2) и являются одновременными (t1=t2), то, согласно преобразованиям Лоренца,  
    

     т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.
     Если события в системе К пространственно разобщены (х1 ≠ х2), но одновременны (t1=t2), то в системе К΄, согласно преобразованиям Лоренца,
    

 
      
    

     Таким образом, в системе К΄ эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными.
     2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке А с координатой х, покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) , где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К΄
    

,
     где           
     Таким образом,  или   ,

     т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся.
     3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси x΄ и покоящийся относительно системы К΄. Длина стержня в системе К΄ равна , где ,  - не изменяющиеся со временем t΄ координаты начала и конца стержня; индекс 0 показывает, что в системе К΄ стержень покоится. Определим длину стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты концов стержня х1 и х2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность  и даст длину стержня в системе К:
    

-
     т.е.

      Таким образом, размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в  раз, т.е. лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения.
     4. Релятивистский закон сложения скоростей. Пусть материальная точка движется в системе К΄ вдоль оси x΄, а система К΄ движется относительно К со скоростью v (оси х и x΄ совпадают). Тогда  
    

      Произведя вычисления, получим релятивистский закон сложения скоростей:
    

     Если скорости v,  малы по сравнению со скоростью света, то эти формулы переходят в привычный закон сложения скоростей в классической механике. Релятивистский закон сложения скоростей не противоречит второму постулату Эйнштейна: если  то , т.е. скорость с – предельная скорость, которую невозможно превысить.